SISTEMÁTICA GRACELI - TEORIA  GERAL DOS SISTEMAS.

QUE TANTO É UM RAMO DA MATEMÁTICA PURA, QUANTO NA TOPOLOGIA, GEOMETRIA, TOPOGEOMETRIA GRACELI, E NA FÍSICA.

OS SISTEMAS SE DIVIDEM EM:

 DINÂMICOS.

CONJUGADOS EM RELAÇÕES DE MAIS DE UM , COMO OS SISTEMAS QUÂNTICOS, INTERAÇÕES DE ENERGIAS, CAMPOS FORÇAS, E PARTÍCULAS, E COM O MEIO AMBIENTE, E FENÔMENOS FÍSICOS.

ESTATÍSTICOS QUE REFLETEM RELAÇÕES DE PROPORCIONALIDADE E VARIAÇÕES TEMPORAIS, ESPACIAIS FENÊMENICAS.

COMPLEXOS, COMO EM RELAÇÕES TRANSCENDENTES E QUÂNTICAS E DE DIMENSÕES, RELAÇÕES MATEMÁTICAS EM VARIÁVEIS COMPLEXAS E OUTRAS, TANTO NA BIOLOGIA, E OUTROS.

HARMÔNICOS. RELAÇÕES DE HARMÔNICAS E QUE NÃO REFLETEM OS ALEATÓRIOS. COMO OS ESFÉRICOS HARMÔNICOS NA FÍSICA.

ALEATÓRIOS, E ALEATORISO QUÂNTICOS RELATIVISTAS E INDETERMINADOS, E TRANSCENDENTES , COMO TAMBÉM NA FÍSICA. E MOVIMENTOS DE INTERAÇÕES ALEATÓRIAS.

GEOMÉTRICOS  COMO EM VARIÁVEIS DE ESTRUTURAS E FORMAS GEOMÉTRICAS E TOPOLÓGICAS.

ESTRUTURAIS - QUE REFLETEM AS ESTRUTURAS E SUAS TRANSFORMAÇÕES E INTERAÇÕES COMO PARTÍCULAS, E OUTROS.

FENOMÊMENICOS - COMO NAS INTERAÇÕES QUÂNTICAS E INTERAÇÕES SPINS-ÓRBITAS.

ESTRUTURAS MOLECULARES E DINÂMICAS E SUAS TRANSFORMAÇÕES - COMO NAS ESTRURURAS MOLECULARES, E OUTROS.

HARMÔNICOS ESFÉRICOS.

TRANSFORMATIVOS - COMO EM TROCAS E INTERAÇÕES DE ENERGIAS, ENTROPIAS E ENTALPIAS

CATEGORIAIS E DIMENSIONAIS - COMO AS CATEGORIAS DE GRACELI E SUAS DIMENSÕES.  TENSORES E OPERADORES.

OS FÍSICOS QUIMICOS E BIOLÓGICOS.

OS ASTRONÔMICOS. E OUTROS.

Em matemática e ciência física, harmónicos esféricos são funções harmónicas que representam a variação espacial de um conjunto ortogonal de soluções da equação de Laplace, quando a solução é expressa em coordenadas esféricas.

Os harmónicos esféricos são importantes em muitas aplicações teóricas e práticas, particularmente em física atómica (uma vez que a função de onda do electrão contém harmónicos esféricos) e na teoria do potencial, tanto no campo gravitacional como na eletrostática.

Introdução

Harmónicos esféricos de variável real Y_lm, para l =0,...,4 (de cima para baixo) e m = 0,...,4 (da esquerda para a direita). Os harmónicos Y_l-m com m negativo são idênticos, mas com uma rotação de 90º/m em torno do eixo z em relação aos harmónicos positivos.

A equação de Laplace em coordenadas esféricas é dada por:

${\displaystyle \nabla ^{2}f={1 \over r^{2}}{\partial \over \partial r}\left(r^{2}{\partial f \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\partial f \over \partial \theta }\right)+{1 \over r^{2}\sin ^{2}\theta }{\partial ^{2}f \over \partial \varphi ^{2}}=0}$

(Ver também Nabla e laplaciano em coordenadas esféricas). Se nesta expressão considera-se soluções específicas da forma ${\displaystyle f(r,\theta ,\phi )=R(r)Y(\theta ,\varphi )}$, a parte angular Y é chamada harmónico esférico e satisfaz a relação

${\displaystyle {1 \over \sin \theta }{d \over d\theta }\left(\sin \theta {dY(\theta ,\varphi ) \over d\theta }\right)+{1 \over \sin ^{2}\theta }{d^{2}Y(\theta ,\varphi ) \over d\varphi ^{2}}+l(l+1)Y(\theta ,\varphi )=0}$

Se, por sua vez, utiliza-se o método de separação de variáveis para esta equação, pode-se ver que a equação acima admite soluções periódicas nas duas coordenadas angulares (l é um inteiro). Logo, a solução periódica do sistema anterior depende de dois inteiros (l, m) e é dada em termos de funções trigonométricas e dos polinômios associados de Legendre:

${\displaystyle Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )=N\,e^{im\varphi }\,P_{\ell }^{m}(\cos {\theta })}$

Onde: ${\displaystyle Y_{\ell }^{m}}$ é chamada de função harmónica esférica de grau ${\displaystyle \ell }$ e ordem ${\displaystyle m}$; ${\displaystyle P_{\ell }^{m}}$ é o polinómio associado de Legendre; ${\displaystyle N}$ é uma constante de normalização; e ${\displaystyle \theta }$ e ${\displaystyle \varphi }$ representam os parâmetros angulares (respectivamente, o ângulo azimutal ou colatitude e o ângulo polar ou longitude).

As coordenadas esféricas utilizadas neste artigo são consistentes com àquelas usadas pelos físicos, mas diferem das utilizadas pelos matemáticos (ver coordenadas esféricas). Em particular, a colatitude ${\displaystyle \theta }$, ou ângulo polar, assume valores de ${\displaystyle 0\leq \theta \leq \pi }$ e a longitude ${\displaystyle \varphi }$, ou azimute, está na faixa de ${\displaystyle 0\leq \varphi <2\pi }$. Portanto, ${\displaystyle \theta }$ é nulo no Pólo Norte, ${\displaystyle \pi /2}$ no Equador e ${\displaystyle \pi }$ no Pólo Sul.

Quando a equação de Laplace é resolvida em coordenadas esféricas, as condições de periodicidade na fronteira da coordenada ${\displaystyle \varphi }$ e as condições de regularidades nos "Pólos Norte e sul" da esfera condizem com o que foi dito que os números l e m necessários devem ser inteiros que satisfazem ${\displaystyle \ell \geq 0}$ e ${\displaystyle |m|\leq \ell }$.